(CESESP - 1986) Na figura abaixo as retas $\;r\;$ e $\;s\;$ são paralelas e as retas $\;t\;$ e $\;v\;$ são perpendiculares. Assinale, então, dentre as alternativas abaixo, a única que completa corretamente a sentença: " os ângulos distintos $\;\alpha\;$ e $\;\beta\;$ são...
(CESGRANRIO - 1989) Na figura, as retas $\,{\large r}\,$ e $\,{\large r'}\,$ são paralelas, e a reta $\,{\large s}\,$ é perpendicular a $\,{\large t}\,$. Se o menor ângulo entre $\,{\large r}\,$ e $\,{\large s}\,$ mede 72°, então o ângulo $\alpha$ da figura mede:
(CESGRANRIO - 1990) Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, de modo que a soma de dois dos ângulos formados vale 72°. Então, qualquer dos ângulos obtusos formados mede:
(CESGRANRIO - 1991) As retas $\;r\;$ e $\;s\;$ da figura são paralelas cortadas pela transversal $\;t\;$. Se o ângulo $\;B\;$ é o triplo de $\;A\;$, então $\;B\; - \;A\;$ vale:
(FUVEST - 1977) Num triângulo $\,ABC\,$, os ângulos $\hat{B}$ e $\hat{C}$ medem $50^o$ e $70^o$, respectivamente. A bissetriz relativa ao vértice $A$ forma com a reta $\overleftrightarrow{BC}$ ângulos proporcionais a:
(CESGRANRIO - 1985) Numa carpintaria, empilham-se 50 tábuas, umas de 2 cm e outras de 5 cm de espessura. A altura da pilha é de 154 cm. A diferença entre o número de tábuas de cada espessura é:
(UFMG - 1992) Os pontos $\;A, B, C, D\;$ são colineares e tais que $\;AB = 6$ cm, $\;BC = 2$ cm, $\;AC = 8$ cm e $\;BD = 1$ cm. Nessas condições, uma possível disposição desses pontos é:
(UCMG - 1982) Na figura ao lado, o ângulo $\phantom{X}A\hat{D}C\phantom{X}$ é reto. O valor, em graus, do ângulo $\phantom{X}C\hat{B}D\phantom{X}$ é de:
(PUC-SP - 1984) Em um triângulo isósceles a média aritmética das medidas de dois de seus ângulos é 50°. A medida de um dos ângulos do triângulo pode ser:
Nessa figura, $\overline{AB} \cong \overline{AC}$, $\overline{BD}$ bissetriz de $A\hat{B}C$, $\overline{CE}$ bissetriz de $B\hat{C}D$ e a medida do ângulo $A\hat{C}F$ é $140^0$. A medida do ângulo $D\hat{E}C$, em graus, é:
(UFRPE - 1991) Observe que, na figura abaixo, a reta $\phantom{X}{\large \ell}\phantom{X}$ faz ângulos idênticos com as retas $\phantom{X}{\large \ell_1}\phantom{X}$ e $\phantom{X}{\large \ell_2}\phantom{X}$. A soma $\;\alpha\,+\,\beta\,+\,\gamma\;$ vale:
(COVEST - 1990) No triângulo ABC, o ângulo $\hat{A}$ mede 110°. Qual a medida do ângulo agudo formado pelas retas que fornecem as alturas relativas aos vértices B e C?
(FUVEST - 1977) $\;\;ABC\;\;$ é equilátero de lado $\;\;4\;$; $\;\;\overline{AM}\,=\,\overline{MC}\,=\,2\;$, $\;\;\overline{AP}\,=\,3\;\;$ e $\;\;\overline{PB}\,=\,1\;$. O perímetro do triângulo $\;\;APM\;\;$ é:
(F.C.M.STA.CASA - 1981) Na figura ao lado temos o triângulo retângulo cujos lados medem 5 cm, 12 cm e 13 cm e a circunferência inscrita nesse triângulo. A área da região sombreada é, em cm² :
(MACKENZIE - 1978) Quatro círculos de raio unitário, cujos centros são vértices de um quadrado, são tangentes exteriormente dois a dois. A área da parte sombreada é:
(V. UNIF. RS - 1980) Na figura, $\phantom{X}\stackrel \frown{AB} \phantom{X}$ é um arco de uma circunferência de raio 1 . A área do trapézio retângulo $\phantom{X}BCDE\phantom{X}$ é:
(COVEST - 1989) Na figura abaixo, o raio da semicircunferência mede 4 cm ; o polígono é um hexágono regular, e o ângulo $\;A\hat{O}B\;$ é reto. Assinale a alternativa correta para a medida da área da região sombreada.
(FUVEST - 1991) O retângulo ABCD representa um terreno retangular cuja largura é 3/5 do comprimento. A parte hachurada representa um jardim retangular cuja largura é também 3/5 do comprimento. Qual a razão entre a área do jardim e a área total do terreno?
(VUNESP - 1990) Uma gangorra é formada por uma haste rígida AB , apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C , como na figura. As dimensões são:$\;\overline{AC}\,=\,1,2\;$m, $\;\overline{CB}\,=\,1,8\;$m, $\;\overline{DC}\,=\,\overline{CE}\,=\,\overline{DE}\,=\,1\;$m. Quando a extremidade B da haste toca o chão, a altura da extremidade A em relação ao chão é:
a)
$\sqrt{3}\;$m
b)
$ \dfrac{3}{ \sqrt{3}}\;$m
c)
$\dfrac{6 \sqrt{3}}{5}\;$m
d)
$\dfrac{5 \sqrt{3}}{6}\;$m
e)
$2\sqrt{2}\;$m
resposta:
Considerações:
A figura representa a situação descrita no enunciado, com o ponto B tocando o chão.
A distância $\;\overline{PC}\;$ é a altura da mureta, cuja secção é um triângulo equilátero de lado medindo 1 metro, portanto $\;\overline{PC}\;$ vale $\;1\centerdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\phantom{X}$ (veja altura do triângulo equilátero em função do lado neste exercício
Resolução: O triângulo $\;AQB\;$ é semelhante ao triângulo $\;CPB\;$ pois possuem o ângulo $\;\hat{B}\;$ comum e os ângulos $\;\hat{P}\;$ e $\;\hat{Q}\;$ são ângulos retos. Como são triângulos semelhantes, seus lados são proporcionais. $\;\dfrac{\overline{AB}}{\overline{CB}}\,=\,\dfrac{\overline{AQ}}{\overline{CP}}\;\Rightarrow\;$
Um triângulo cujas medidas dos três lados são, respectivamente $\;7, \;8\;$ e $\;13\;$ é: a) um triângulo retângulo b) um triângulo acutângulo c) um triângulo obtusângulo d) um triângulo equiângulo e) nenhuma das anteriores
(PUC - 1973) Sabendo-se que o triângulo $\phantom{X}ABC\phantom{X}$ é retângulo e $\;\overline{AH}\,=\,h\;$ é a medida da altura do triângulo, quais das relações são válidas:
(ITA - 1979) Considere o triângulo ABC , onde AD é a mediana relativa do lado BC . Por um ponto arbitrário M dosegmento BD , tracemos o segmento MP paraleloa AD ,onde P é o ponto de intersecção desta paralela com o prolongamento do lado AC .Se N é o ponto de intersecção de AB com MP , podemos afirmar que:
a)
MN + MP = 2BM
b)
MN + MP = 2CM
c)
MN + MP = 2AB
d)
MN + MP = 2AD
e)
MN + MP = 2AC
resposta:
Resolução:
1.$\;\overline{MN}\;$ é paralelo a $\;\overline{AD}\;$ e $\;\overline{AD}\;$ é paralelo a $\;\overline{MP}\;$ $MN // AD\;\Rightarrow\;$ $\;\triangle BMN\thicksim\triangle BDA\;\Rightarrow\;\dfrac{MN}{DA}\,=\,\dfrac{BM}{BD}\;\Rightarrow\;$ $\;MN\,=\,DA\centerdot\, \dfrac{BM}{BD}\phantom{X}$(I)
(FUVEST - 1980) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20°. a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa? b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela bissetriz do ângulo reto?
resposta:
Resolução: a)
Seja $\,\triangle ABC\,$ o triângulo retângulo como na figura, com ângulo $\,\hat{C}\,$ de 20° e hipotenusa 20 cm. Consideremos a circunferência de centro $\,M\,$ circunscrita ao $\,\triangle ABC\,$.O ângulo $\,B\hat{A}C\,$ é reto e está inscrito na circunferência, portanto tem medida igual à metade do ângulo central correspondente $\,B\hat{M}C\,$. Portanto a medida de $\,B\hat{M}C\,$ é 180° (ângulo raso). Conclui-se que a hipotenusa do triângulo, o segmento $\,\overline{BC}\,$, é um diâmetro da circunferência de centro $\,M\,$, e que $\,M\,$ (centro) é ponto médio de $\,\overline{BC}\,$. Sendo $\,\overline{AM}\,$ um raio da circunferência, então a medida de $\,\overline{AM}\,$ é igual à metade da medida do diâmetro $\,\overline{BC}\,$. Se BC = 20 cm (hipotenusa - diâmetro) então AM = 10 cm (mediana - raio) b)
Como a $\,\overline{AM}\,$ e $\,\overline{MC}\,$ têm a mesma medida, então o $\,\triangle AMC\,$ é isósceles e portanto: $\,M\hat{A}C\,=\,M\hat{C}A\,=\,20^o\,$. Sendo $\,\overline{AS}\,$ bissetriz de $\,\hat{A}\,$ de medida 90°, então $\,C\hat{A}S\,=\,45^o\,$, donde concluímos que: $\,S\hat{A}M\,=\,S\hat{A}C\,-\,M\hat{A}C\;\Rightarrow\;S\hat{A}M\,=\,45^o\,-\,20^o\,=\,25^o$ resposta
a) A medida da mediana relativa à hipotenusa é 10 cm e b) a medida do ângulo formado entre a mediana e a bissetriz do ângulo reto é 25°
(FUVEST - 2009) Na figura, estão representados a circunferência C, de centro O e raio 2, e os pontos A, B, P e Q, de tal modo que:
1. O ponto O pertence ao segmento $\,\overline{PQ}\,$. 2. OP = 1 , OQ = $\,\sqrt{2}\,$. 3. A e B são pontos da circunferência. $\;\overline{AP}\; \bot \;\overline{PQ}\phantom{X}$ e $\phantom{X}\overline{BQ}\; \bot\; \overline{PQ}\,$.
Assim sendo, determine:
a)
A área do triângulo APO.
b)
Os comprimentos dos arcos determinados por A e B em C.
As circunferências da figura são tangentes externamente. Se a distância entre os centros é 28 cm e a diferença entre os raios é 8 cm, determine os raios.
Se dois segmentos são consecutivos, então eles são colineares.
b)
( )
Se dois segmentos são colineares, então eles são consecutivos.
c)
( )
Se dois segmentos são adjacentes, então eles são colineares.
d)
( )
Se dois segmentos são colineares, então eles são adjacentes.
e)
( )
Se dois segmentos são adjacentes, então eles são consecutivos.
f)
( )
Se dois segmentos são consecutivos, então eles são adjacentes.
resposta:
a)
F
b)
F
c)
V
d)
F
e)
V
f)
F
Obs. a) dois segmentos são consecutivos quando a extremidade de um coincide com a extremidade de outro — não são necessariamente colineares. Na figura a seguir, $\,\overline{AB}\,$ é consecutivo de $\,\overline{BC}\,$ e também $\,\overline{DE}\,$ é consecutivo de $\,\overline{EF}\,$
Responda as afirmações de A) até E) como CERTO ou ERRADO.
A)
Se $\,\overline{AB}\,\cong\,\overline{BD}\,$ então $\,A\,=\,D\,$.
()
B)
Todo plano é convexo.
()
C)
A circunferência é convexa.
()
D)
A união de duas regiões convexas é convexa.
()
E)
A reta é convexa.
()
resposta:
A)
(ERRADO)
Resolução: Podemos ter:
onde a medida $\,(\overline{AB})\,$ é igual à medida de $\,(\overline{BD})\,$ e $\,A\,$ é diferente de $\,D\,$.
B)
(CERTO)
Resolução: Seja um plano $\,\alpha\,$: Se $\,\left\{\begin{array}{rcr} A\,\in\,\alpha& \\ B\,\in\,\alpha& \\ \end{array} \right.\; \Rightarrow\;$ $\,\overline{AB} \;\subset\;\alpha\;\;\forall\;A,B\;\in\,\alpha\;\Rightarrow$ $\,\Rightarrow \;\alpha \mbox { é convexo}\,$
C)
(ERRADO)
Resolução:
$\,\left\{\begin{array}{rcr} A\,\in\,\mbox{ circunferência}& \\ B\,\in\,\mbox{ circunferência}& \\ \end{array} \right.\;$ $ \Rightarrow\; \mbox{ o segmento}\;\overline{AB} \;\not\subset\; \mbox{ na circunferência}$ $\,\Rightarrow \;$ circunferência não é convexa.
D)
(ERRADO)
Resolução:
Como no exemplo, S1 e S2 são círculos; S1 é convexo e S2 é convexo.Na figura, S1 ∪ S2 = S que não é convexa, pois ∃ A,B ∈ S | AB ⊄ S
O segmento AB de uma reta é igual ao quíntuplo do segmento CD dessa mesma reta. Determine a medida do segmento AB , considerando como unidade de medida a quinta parte do segmento CD.
(UNESP - 1998) O triângulo ABC da figura é equilátero. Os pontos M e N e os pontos P e Q dividem os lados a que pertencem em três segmentos de reta de mesma medida.
(ITA - 2005) Em um triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é a média geométrica das medidas dos catetos. Então, o valor do cosseno de um dos ângulos do triângulo é igual a
Um ângulo tem por medida $\,\frac{\;3\;}{\;2\;}\,$ da medida de seu adjacente. O complemento do maior tem na sua medida 15°28' mais do que a diferença entre as medidas do maior e do menor. Calcular as medidas dos ângulos.
Se r // s , determine $\,\hat{\,\alpha\,}\,$ na figura.
resposta:
Considerações:
Na figura existem ângulos formando "bicos" e nesses bicos não existe nenhuma paralela. A solução inicia-se sempre traçando pelos bicos outras retas paralelas às retas já existentes.
Resolução:
Uma vez traçadas as retas paralelas às retas já existentes, podemos marcar os ângulos alternos internos que são congruentes entre si.
Na figura esses ângulos aparecem destacados com cores iguais. Decorre que a medida de $\;\hat{\,\alpha\,}\;$ é (50° + 40°) = 90°
